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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}


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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.

%Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, $(d_1)$ et $(d_2)$ est la longueur du segment [EF], où E et F sont des points appartenant respectivement à $(d_1)$ et à $(d_2)$ tels que la droite (EF) est orthogonale à $(d_1)$ et $(d_2)$.

%L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

Soit $(d_1)$ la droite passant par A$(1~;~2~;~-1)$ de vecteur directeur $\vect{u_1}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $(d_2)$ la droite dont une représentation paramétrique est : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
	x&=&0\\y &=& 1 + t\\z &=& 2 + t\\
\end{array}\right.,\: t  \in \R.$

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $(d_1)$.
	
	On a $M(x~;~y~;~z) \in (d_1) \iff \text{il existe }\, t' \in \R, \, \text{tel que } \, \vect{\text{A}M} = t'\vect{u_1} \iff $
	
	$\left\{\begin{array}{l c l}
		x- 1&=&1t'\\
		y - 2&=&2t'\\
		z-(-1)&=&0t'
	\end{array}\right.\, t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
		x &=&1 + t'\\
		y &=&2 + 2t'\\
		z&=&- 1
	\end{array}\right.\, t \in \R $.
	
	\item On démontre que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires.
	
	$\bullet~$ $(d_2)$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et ce vecteur n'est pas colinéaire à $\vect{u_1}$ : les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
	
	$\bullet~$ $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes s'il existe $t$ et $t'$ deux réels tels que :
	
	$\left\{\begin{array}{l c l}
		0&=&1 + t'\\
		1 + t&=&2 + 2t'\\
		2 + t &=&-1 \\
	\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
		-1&=& t'\\
		t & =&1 + 2t'\\
		t &=&-3 \\
	\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
		-1&=& t'\\
		t & =&-1 \\
		t &=&-3 \\
	\end{array}\right.$ : ce système n'a pas de solution.
	
	Conclusion : les deux droites ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont donc non coplanaires.
	\item Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vect{u_1}$ et $\vect{w}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\\end{pmatrix}$.
	
	On va justifier qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $-2x + y + 5z + 5 = 0$.
	
	Si un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient au plan défini par le point A et les deux vecteurs $\vect{u_1}$ et $\vect{w}$, on sait que il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que :
	$\vect{\text{A}M} = \alpha\vect{u_1} + \beta\vect{w}$,
	
	soit avec les coordonnées :
	$\left\{\begin{array}{l c l}
		x - 1&=&1\alpha + 2\beta\\
		y - 2&=&2\alpha - 1\beta\\
		z + 1&=&0\alpha + 1\beta
	\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
		x &=&\alpha + 2\beta + 1\\
		y &=&2\alpha - \beta + 2\\
		z&=&\beta - 1
	\end{array}\right.$
	
	Or quels que soient $\alpha$ et $\beta$ :
	
	${\red - 2}(\alpha + 2\beta + 1) + {\red 1}(2\alpha - \beta + 2) + {\red 5}(\beta - 1)+ {\red 5} =  -2\alpha - 4\beta - 2 + 2\alpha - \beta + 2 + 5\beta - 5 + 5 = 0$.
	
	Donc une équation cartésienne du plan est ${\red -2}x + {\red 1}y + {\red 5}z + {\red 5} = 0$.
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item %Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la droite
		%$(d_2)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.
		On a vu que $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas coplanaires donc $(d_2)$ ne peut appartenir au plan précédent et $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles donc la droite  $(d_2)$ est sécante au plan $\mathcal{P}$.
		
		\emph{Autre méthode} : d'après ses équations paramétriques un vecteur directeur de la droite $(d_2)$est le vecteur $\vect{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}$ et d'après l'équation de $\mathcal{P}$ un de ses vecteurs normaux est $\vect{n}\begin{pmatrix}-2\\1\\5) \end{pmatrix}$.
		
		Comme $\vect{u_2} \cdot \vect{n} = 0 + 1 + 5 = 6 \ne 0$ ceci  montre que $(d_2)$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal{P}$ : $(d_2)$ et $\mathcal{P}$ sont donc sécants.
		\item On note F le point d'intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathcal{P}$.
		
		%Vérifier que le point F a pour coordonnées $\left(0~;~- \dfrac53~;~- \dfrac23\right)$.
		Si F est commun à $(d_2)$ et au plan $\mathcal{P}$ ses coordonnées vérifient le système :
		
		$\left\{\begin{array}{r c l}
			x&=&0\\
			y &=& 1 + t\\
			z &=& 2 + t\\
			-2x + y + 5z + 5 &=& 0\\
		\end{array}\right.$, d'où en remplaçant dans la dernière équation :
		
		$-2\times 0 + 1 + t + 5(2 + t) + 5 = 0 \iff 1 + t + 10 + 5t + 5 = 0\iff 6t + 16 = 0 \iff t = - \dfrac83$, d'où en remplaçant dans $x,\,y,\,$ et $z$, on obtient   F\:$\left(0~;~- \dfrac53~;~-\dfrac23\right)$.
		
		Soit $(\delta)$ la droite passant par F et de vecteur directeur $\vect{w}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $(d_1)$ sont sécantes en un point E de coordonnées $\left( -\dfrac23~;~- \dfrac43~;~-1\right)$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la distance EF est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
		Des coordonnées du vecteur $\vect{\text{EF}}\begin{pmatrix}\dfrac23\\-\dfrac13\\\dfrac13\end{pmatrix}$ on  déduit que :
		
		$\vect{\text{EF}} \cdot \vect{u_1} = \dfrac23 - \dfrac23 + 0 = 0$ et 
		$\vect{\text{EF}} \cdot \vect{u_2} = 0  - \dfrac23 + \dfrac23 = 0$.
		
		Conclusion : $\vect{\text{EF}}$ est orthogonal aux vecteurs directeurs des deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$, $\text{E} \in (d_1)$ et $\text{F} \in (d_2)$ donc EF est bien la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
		\item %Calculer la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
		On a EF$^2 = \left(\dfrac23\right)^2 +  \left(-\dfrac13\right)^2 +  \left(\dfrac13 \right)^2  = \dfrac49 + \dfrac19 + \dfrac19 = \dfrac69$.
		
		Conclusion : EF $ = \sqrt{\dfrac69} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}